Вопрос школьника
Длины диагоналей параллелограмма равны d1 и d2, а градусная мера угла между диагоналями равна φ. Найдите длины сторон параллелограмма.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим стороны параллелограмма через a и b. Тогда:
d1^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(φ)
d2^2 = a^2 + b^2 + 2ab*cos(φ)
Сложим эти уравнения:
d1^2 + d2^2 = 2a^2 + 2b^2
Отсюда получаем:
a^2 + b^2 = (d1^2 + d2^2) / 2
Вычитая из первого уравнения второе, получаем:
d1^2 — d2^2 = -4ab*cos(φ)
Отсюда находим:
ab = (d1^2 — d2^2) / (4*cos(φ))
Теперь можем найти длины сторон:
a = (d1^2 + d2^2 — 2ab*cos(φ)) / (2*(1-cos^2(φ)))
b = (d1^2 + d2^2 — 2ab*cos(φ)) / (2*(1-sin^2(φ)))
где sin(φ) = sqrt(1-cos^2(φ))
Таким образом, зная длины диагоналей и угол между ними, мы можем найти длины сторон параллелограмма.
