Вопрос школьника
Длины двух соответствующих сторон подобных треугольников А1В1С1 и А2В2С2 равны 3 см и 9 см соответственно. Вычислите площадь треугольника А2В2С2, если площадь треугольника А1В1С1 равна 7 см2.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством подобных треугольников: соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, то есть отношение длин соответствующих сторон равно постоянной величине, называемой коэффициентом подобия.
Таким образом, мы можем записать:
AB1/AB2 = BC1/BC2 = AC1/AC2 = k
где k — коэффициент подобия.
Из условия задачи известно, что AB1 = 3 см, AB2 = 9 см. Поэтому:
k = AB1/AB2 = 3/9 = 1/3
Теперь мы можем найти длины оставшихся сторон треугольника А2В2С2:
BC2 = BC1/k = 3/k = 3/(1/3) = 9 см
AC2 = AC1/k = 4/k = 4/(1/3) = 12 см
Теперь мы можем найти площадь треугольника А2В2С2, используя формулу для площади треугольника:
S = (1/2) * AB2 * BC2 * sin(∠A2)
где ∠A2 — угол между сторонами AB2 и BC2.
Угол ∠A2 можно найти, используя теорему косинусов:
cos(∠A2) = (AB2^2 + BC2^2 — AC2^2) / (2 * AB2 * BC2)
cos(∠A2) = (9^2 + 3^2 — 12^2) / (2 * 9 * 3) = -1/3
Так как косинус угла не может быть отрицательным, то мы можем использовать дополнительное свойство тригонометрических функций: cos(π — α) = -cos(α). Поэтому:
cos(π — ∠A2) = -cos(∠A2)
sin(∠A2) = √(1 — cos^2(∠A2)) = √(1 — (-1/3)^2) = √(8/9) = 2√2/3
Теперь мы можем вычислить площадь треугольника А2В2С2:
S = (1/2) * AB2 * BC2 * sin(∠A2) = (1/2) * 9 * 9 * (2√2/3) = 27√2 см2
Ответ: площадь треугольника А2В2С2 равна 27√2 см2.
