Вопрос школьника
Длины двух сторон треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите длину третьей стороны
Ответ от учителя
Медианы, проведенные к сторонам треугольника, делят каждую сторону на две равные части. Поэтому мы можем представить треугольник как три прямоугольных треугольника, в каждом из которых один катет равен половине стороны, а другой катет — медиане, проведенной к этой стороне.
Пусть третья сторона треугольника имеет длину x. Тогда мы можем записать следующие уравнения:
$$(frac{x}{2})^2 + (frac{m_1}{2})^2 = 6^2$$
$$(frac{x}{2})^2 + (frac{m_2}{2})^2 = 8^2$$
где $m_1$ и $m_2$ — длины медиан, проведенных к сторонам длиной 6 и 8 соответственно.
Также, по условию задачи, медианы взаимно перпендикулярны. Это означает, что их длины связаны следующим образом:
$$m_1^2 + m_2^2 = (frac{3}{2}x)^2$$
Решая эту систему уравнений, мы можем найти длину третьей стороны треугольника:
$$x = sqrt{frac{72}{5}} approx 6.71$$
Таким образом, длина третьей стороны треугольника составляет примерно 6.71.
