Вопрос школьника
Длины катетов прямоугольного треугольника ABC равны б см и 4 см. Больший катет АС разделён точками М и N на 3 равные части. Точки М и N соединены с вершиной В. Найди площадь треугольника BMN.
Ответ от учителя
Для начала найдем длину гипотенузы треугольника ABC, используя теорему Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 4^2 + b^2$
$c^2 = 16 + b^2$
$c = sqrt{16 + b^2}$
Теперь разделим больший катет АС на 3 равные части, чтобы найти координаты точек М и N. Пусть точка М находится на расстоянии x от вершины АС, тогда точка N находится на расстоянии 2x от вершины АС. Таким образом, координаты точек М и N будут:
$M(frac{b}{3}, x)$
$N(frac{2b}{3}, 2x)$
Теперь найдем длины отрезков BM, BN и MN, используя формулу расстояния между двумя точками:
$BM = sqrt{(b-frac{b}{3})^2 + (x-0)^2} = frac{bsqrt{2}}{3}$
$BN = sqrt{(b-frac{2b}{3})^2 + (2x-0)^2} = frac{bsqrt{2}}{3}$
$MN = sqrt{(frac{2b}{3}-frac{b}{3})^2 + (2x-x)^2} = frac{bsqrt{2}}{3}$
Заметим, что треугольник BMN является равнобедренным, так как все его стороны равны. Также заметим, что угол между сторонами BM и BN равен 90 градусов, так как эти стороны являются катетами прямоугольного треугольника ABC. Таким образом, площадь треугольника BMN равна:
$S_{BMN} = frac{1}{2} cdot BM cdot BN = frac{1}{2} cdot (frac{bsqrt{2}}{3})^2 = frac{2b^2}{27}$
Ответ: площадь треугольника BMN равна $frac{2b^2}{27}$ квадратных сантиметров.
