Вопрос школьника
Длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3 см и 5 см, а длина бокового ребра — 2 см. Вычислите объем усеченной пирамиды.
Ответ от учителя
Для вычисления объема усеченной пирамиды необходимо знать ее высоту. Высоту можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, половиной разности длин оснований и высотой усеченной пирамиды.
Высота усеченной пирамиды равна:
$h = sqrt{2^2 — (frac{5-3}{2})^2} = sqrt{2^2 — 1^2} = sqrt{3}$
Теперь можно вычислить объем усеченной пирамиды, используя формулу:
$V = frac{1}{3}h(A_1 + A_2 + sqrt{A_1A_2})$
где $h$ — высота усеченной пирамиды, $A_1$ и $A_2$ — площади оснований.
Площадь основания равно:
$A = frac{1}{2}ab$
где $a$ и $b$ — длины сторон основания.
Таким образом, площади оснований равны:
$A_1 = frac{1}{2} cdot 3 cdot 3 = frac{9}{2}$
$A_2 = frac{1}{2} cdot 5 cdot 5 = frac{25}{2}$
Теперь можно вычислить объем усеченной пирамиды:
$V = frac{1}{3} cdot sqrt{3} cdot (frac{9}{2} + frac{25}{2} + sqrt{frac{9}{2} cdot frac{25}{2}}) = frac{1}{3} cdot sqrt{3} cdot (frac{9}{2} + frac{25}{2} + frac{15}{2}) = frac{49sqrt{3}}{6}$
Ответ: объем усеченной пирамиды равен $frac{49sqrt{3}}{6}$ кубических сантиметров.
