Вопрос школьника
Длины сторон основания прямой треугольной призмы равны 8 см, 5 см и 5 см. Вычислите объем призмы, если диагональ меньшей боковой грани наклонена к плоскости большей боковой грани под углом 30°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам необходимо найти высоту призмы и длину ее боковой грани. Затем, используя формулу объема призмы, мы сможем вычислить ее объем.
Для начала найдем высоту призмы. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю меньшей боковой грани, одной из сторон основания и высотой призмы:
$h^2 = 5^2 — (frac{8}{2})^2 = 25 — 16 = 9$
$h = 3$ см
Теперь найдем длину боковой грани. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для прямоугольного треугольника, образованного диагональю меньшей боковой грани, одной из сторон основания и высотой призмы:
$a^2 = 5^2 + 5^2 — 2 cdot 5 cdot 5 cdot cos 30^circ = 25 — 25 cdot frac{sqrt{3}}{2} = 25 — frac{25sqrt{3}}{2}$
$a = sqrt{25 — frac{25sqrt{3}}{2}} approx 2,16$ см
Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя формулу:
$V = S_{осн} cdot h = frac{1}{2} cdot a cdot b cdot h = frac{1}{2} cdot 8 cdot 3 cdot sqrt{25 — frac{25sqrt{3}}{2}} approx 31,18$ см$^3$
Ответ: объем призмы равен примерно 31,18 см$^3$.
