Вопрос школьника
Длины всех ребер правильной треугольной призмы равны между собой. Вычислите объем призмы, если площадь ее полной поверхности равна (2√3 +12) см2.
Ответ от учителя
Пусть длина ребра призмы равна a, тогда ее высота равна h = a√3/2 (так как это правильная треугольная призма).
Площадь полной поверхности призмы состоит из двух равных оснований (площадь каждого основания равна Sосн = a^2√3/4) и трех прямоугольных боковых граней (площадь каждой грани равна Sбок = ah).
Тогда площадь полной поверхности призмы равна:
Sполн = 2Sосн + 3Sбок = 2(a^2√3/4) + 3ah = a^2√3 + 3ah
Подставляем данное значение площади полной поверхности и находим высоту призмы:
2√3 + 12 = a^2√3 + 3ah
3ah = 2√3 + 12 — a^2√3
h = (2√3 + 12 — a^2√3)/3a
Теперь можем вычислить объем призмы:
V = Sосн * h = (a^2√3/4) * ((2√3 + 12 — a^2√3)/3a) = a^2(2√3 + 12 — a^2√3)/12
Таким образом, объем призмы равен a^2(2√3 + 12 — a^2√3)/12.
