Вопрос школьника
Для эллипса с заданными фокусами F1, F2 и суммой расстояний до них проведите касательную, проходящую через заданную точку: а) на эллипсе; б) вне эллипса.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим общее уравнение эллипса:
(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1
где (x0, y0) — координаты центра эллипса, a и b — полуоси.
Также, известно, что сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов F1 и F2 равна длине большой оси 2a.
Теперь, рассмотрим два случая:
а) Касательная, проходящая через заданную точку на эллипсе.
Пусть дана точка P(xp, yp), лежащая на эллипсе. Найдем уравнение касательной, проходящей через эту точку.
Для этого, найдем производную уравнения эллипса по x:
2(x-x0)/a^2 + 2(y-y0)/b^2 * dy/dx = 0
dy/dx = — (x-x0)/(y-y0) * b^2/a^2
Таким образом, уравнение касательной в точке P(xp, yp) имеет вид:
y — yp = — (xp-x0)/(yp-y0) * b^2/a^2 * (x — xp)
б) Касательная, проходящая через заданную точку вне эллипса.
Пусть дана точка P(xp, yp), не лежащая на эллипсе. Найдем уравнение касательной, проходящей через эту точку.
Для этого, найдем расстояние от точки P до фокусов F1 и F2:
d1 = sqrt((xp-x1)^2 + (yp-y1)^2)
d2 = sqrt((xp-x2)^2 + (yp-y2)^2)
где (x1, y1) и (x2, y2) — координаты фокусов.
Так как сумма расстояний до фокусов равна длине большой оси 2a, то:
d1 + d2 = 2a
Таким образом, мы можем найти значение a:
a = (d1 + d2)/2
Теперь, найдем значение b, используя уравнение эллипса:
b^2 = a^2 — (d1/2)^2
Теперь, найдем уравнение эллипса, смещенного на вектор (xp-x0, yp-y0):
(x-xp+x0)^2/a^2 + (y-yp+y0)^2/b^2 = 1
Найдем производную этого уравнения по x:
2(x-xp+x0)/a^2 + 2(y-yp+y0)/b^2 * dy/dx = 0
dy/dx = — (x-xp+x0)/(y-yp+y0) * b^2/a^2
Таким образом, уравнение касательной в точке P(xp, yp) имеет вид:
y — yp = — (xp-x0)/(yp-y0) * b^2/a^2 * (x — xp)
