Вопрос школьника
Для нагревания некоторой массы газа на Δt1=50° С при p=const необходимо затратить количество теплоты Q1=670 Дж. Если эту же массу газа охладить на Δt2=100° С при V=const, то выделяется количество теплоты Q2=1005 Дж. Какое число степеней свободы i имеют молекулы этого газа?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать закон Майера, который связывает изменение внутренней энергии газа с изменением его температуры и числом степеней свободы молекул:
ΔU = i/2 * n * R * ΔT
где ΔU — изменение внутренней энергии газа, i — число степеней свободы молекул, n — количество молекул газа, R — универсальная газовая постоянная, ΔT — изменение температуры газа.
Для начала найдем количество молекул газа, используя уравнение состояния идеального газа:
pV = nRT
где p — давление газа, V — его объем, T — абсолютная температура.
Из условия задачи известны изменения температуры газа и количество затраченной и выделенной теплоты:
ΔT1 = 50° С, Q1 = 670 Дж
ΔT2 = -100° С, Q2 = 1005 Дж
Переведем температуры в Кельвины:
ΔT1 = 50 K
ΔT2 = -100 K
Так как при первом нагревании давление газа остается постоянным, то можно записать:
Q1 = ΔU1 = i/2 * n * R * ΔT1
Аналогично, при охлаждении газа при постоянном объеме:
Q2 = -ΔU2 = -i/2 * n * R * ΔT2
Знак минус перед ΔU2 обусловлен тем, что при охлаждении газа его внутренняя энергия уменьшается.
Выразим из первого уравнения количество молекул газа:
n = Q1 / (i/2 * R * ΔT1)
Подставим это выражение во второе уравнение и выразим число степеней свободы:
i = 2 * Q2 / (n * R * ΔT2)
Подставим известные значения:
i = 2 * 1005 Дж / ((670 Дж / (50 K * 8,31 Дж/(моль*К))) * (-100 K)) ≈ 5
Ответ: молекулы этого газа имеют примерно 5 степеней свободы.
