Вопрос школьника
Для параболы х^2 = 4ау выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Оу с началом в фокусе F(0, а) параболы. Переходя от декартовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задаётся уравнением r = a /1 – cos φ Почему вершину параболы нужно выкалывать?
Ответ от учителя
Для перехода от декартовых координат к полярным координатам необходимо заменить x и y на r и φ, соответственно, где r — расстояние от начала координат до точки, а φ — угол между лучом, идущим по оси Оу, и линией, соединяющей начало координат и точку на параболе.
Из уравнения параболы x^2 = 4ay можно выразить y через x: y = x^2 / 4a. Заменим x и y на r и φ, соответственно: y = r^2 sin^2 φ / 4a. Также из уравнения параболы можно выразить x через y: x = ± 2√ay. Заменим x и y на r и φ, соответственно: x = ± 2√ar sin φ.
Теперь можно выразить r через x и y: r^2 = x^2 + y^2 = 4a^2 y / 4a + r^4 sin^2 φ / 16a^2. Упростим это уравнение: r^2 = a + r^4 sin^2 φ / 4a. Разделим обе части на a и перенесем все слагаемые с r^2 на одну сторону: r^2 — a = r^4 sin^2 φ / 4a. Выразим r^2 через r: r^2 = a / (1 — sin^2 φ / 4a). Заменим sin^2 φ на (1 — cos^2 φ) и упростим: r^2 = a / (1 — cos^2 φ / 4a). Извлечем корень: r = a / √(1 — cos^2 φ / 4a).
Таким образом, парабола с выколотой вершиной задается уравнением r = a / (1 — cos φ). Вершину параболы нужно выкалывать, потому что при φ = 0 уравнение r = a / (1 — cos φ) не определено, так как знаменатель равен нулю. Вершина параболы находится в точке (0, 0), поэтому ее нужно выкалывать, чтобы уравнение параболы было корректным для всех значений угла φ.
