Вопрос школьника
Для параболы с заданными фокусом и директрисой проведите касательную, проходящую через данную точку: а) на параболе; б) вне параболы.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим уравнение параболы в общем виде:
y = ax^2 + bx + c
где a, b, c — коэффициенты, определяющие форму параболы.
Фокус и директриса параболы связаны следующим образом:
— Фокус находится на расстоянии p от вершины параболы, где p = 1/4a.
— Директриса находится на расстоянии p от вершины параболы, но в противоположном направлении.
Теперь рассмотрим два случая:
а) Касательная проходит через данную точку на параболе.
Для того чтобы провести касательную к параболе, проходящую через данную точку, необходимо найти координаты этой точки и найти уравнение касательной в этой точке.
Пусть данная точка имеет координаты (x0, y0). Тогда уравнение касательной в этой точке имеет вид:
y — y0 = 2ax0(x — x0) + b(x — x0)
где a и b — коэффициенты параболы, которые можно найти из уравнения параболы.
б) Касательная проходит через данную точку вне параболы.
Для того чтобы провести касательную к параболе, проходящую через данную точку вне параболы, необходимо найти координаты этой точки и найти уравнение нормали в этой точке. Затем, используя свойство ортогональности нормали и касательной, можно найти уравнение касательной.
Пусть данная точка имеет координаты (x0, y0). Тогда уравнение нормали в этой точке имеет вид:
y — y0 = (-1/2a)(x — x0)
где a — коэффициент параболы, который можно найти из уравнения параболы.
Затем, используя свойство ортогональности нормали и касательной, можно найти уравнение касательной. Для этого необходимо найти угол между нормалью и осью x, который равен arctan(2a). Затем, угол между касательной и осью x будет равен -arctan(2a). Используя этот угол, можно найти уравнение касательной в данной точке.
