Вопрос школьника
До кіл, радіуси яких 12 см і 17 см, проведено спільну
внутрішню дотичну, яка перетинає лінію центрів під кутом
45°. Знайдіть відстань між точками дотику.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам знадобиться знати деякі властивості кола і трикутника.
1. Властивості кола:
— Радіус кола — відрізок, що з’єднує центр кола з будь-якою точкою кола.
— Дотична до кола — пряма, яка має спільну точку з колом і не перетинає його.
— Кут між дотичною і радіусом, проведеним до точки дотику, дорівнює 90°.
2. Властивості трикутника:
— Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
— У прямокутному трикутнику катети і гіпотенуза пов’язані за формулою Піфагора: a^2 + b^2 = c^2, де a і b — катети, c — гіпотенуза.
Тепер розглянемо задачу. Ми маємо два кола з радіусами 12 см і 17 см, які мають спільну внутрішню дотичну, що перетинає лінію центрів під кутом 45°. Нам потрібно знайти відстань між точками дотику.
Позначимо центри кола як O1 і O2, а точки дотику як A і B. Також позначимо точку перетину дотичної з лінією центрів як C.
За властивостями кола, OA і OB є радіусами кола, тому вони мають довжини 12 см і 17 см відповідно.
За умовою задачі, дотична до кола перетинає лінію центрів під кутом 45°. Оскільки кут між OA і OB дорівнює 45°, то кут між дотичною і OA (або OB) також дорівнює 45°.
Отже, ми маємо прямокутний трикутник OAC (або OBC), де OA (або OB) — гіпотенуза, а OC — катет. За формулою Піфагора ми можемо знайти довжину OC:
OC^2 = OA^2 — AC^2
Оскільки OA = 12 см і OB = 17 см, то AC = BC (оскільки вони є точками дотику до спільної дотичної), тому ми можемо записати:
OC^2 = 12^2 — AC^2
OC^2 = 17^2 — BC^2
Оскільки ми шукаємо відстань між точками дотику, то ми можемо записати:
AB = AC + BC
Замінюємо AC і BC на їх значення з попередніх формул і складаємо:
AB = √(12^2 — OC^2) + √(17^2 — OC^2)
Тепер нам потрібно знайти значення OC. За властивостями трикутника, ми знаємо, що сума кутів OAC і OCA дорівнює 90°. Оскільки кут між OA і дотичною дорівнює 45°, то кут OAC (або OBC) дорівнює 45°. Тому кут OCA (або OCB) дорівнює 45° також.
Отже, ми маємо два прямокутних трикутники OAC і OBC з кутом 45° при вершині C. За властивостями цих трикутників, ми можемо записати:
tan 45° = OC / OA
tan 45° = OC / OB
Оскільки tan 45° = 1, то ми можемо записати:
OC = OA = 12 см
OC = OB = 17 см
Замінюємо значення OC в формулі для AB і отримуємо:
AB = √(12^2 — 12^2) + √(17^2 — 12^2)
AB = √(289)
AB = 17 см
Отже, відстань між точками дотику дорівнює 17 см.
