Вопрос школьника
Доказать, что если из трехзначного числа вычесть трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, то модуль полученной разности будет делиться на 9 и 11
Ответ от учителя
Пусть дано трехзначное число $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа. Тогда трехзначное число, записанное теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, будет равно $cba$.
Тогда разность между этими числами будет равна:
$$abc — cba = 100a + 10b + c — (100c + 10b + a) = 99a — 99c = 99(a-c)$$
Таким образом, полученная разность будет кратна 9 и 11, так как $99$ делится на оба эти числа.
Действительно, если число делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9. В данном случае, разность между цифрами $a$ и $c$ равна разности чисел $abc$ и $cba$, которая делится на 9. Таким образом, сумма цифр разности также делится на 9, что означает, что сама разность делится на 9.
Чтобы доказать, что разность также делится на 11, можно воспользоваться следующим правилом: если разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях кратна 11, то само число кратно 11.
В данном случае, сумма цифр на четных позициях равна $a+c$, а сумма цифр на нечетных позициях равна $b$. Разность между этими суммами равна $a+c-b$. Так как $b$ и $a+c$ — это цифры числа $abc$, то разность между ними равна разности чисел $abc$ и $cba$, которая делится на 11. Таким образом, $a+c-b$ также делится на 11, что означает, что сама разность $abc-cba$ делится на 11.
Таким образом, мы доказали, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, будет кратна 9 и 11.
