Вопрос школьника
Доказать, что если каждое из двух натуральных чисел не делится на 3, то модуль разности квадратов этих чисел делится на 3.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: Пусть первое число равно 1, а второе число равно 2. Тогда разность квадратов этих чисел равна 3, что делится на 3.
Предположение индукции: Пусть для любых двух натуральных чисел, не делящихся на 3, разность квадратов этих чисел делится на 3.
Шаг индукции: Рассмотрим произвольные два натуральных числа a и b, не делящихся на 3. Пусть a > b. Тогда разность квадратов этих чисел можно представить в виде:
a^2 — b^2 = (a + b)(a — b)
Так как a и b не делятся на 3, то их сумма и разность также не делятся на 3. Таким образом, один из множителей (a + b) или (a — b) должен быть кратен 3.
Если (a + b) кратно 3, то (a — b) не кратно 3, так как их сумма не кратна 3. Тогда (a + b) и (a — b) не могут быть одновременно не кратны 3, и разность квадратов a^2 — b^2 будет кратна 3.
Если (a — b) кратно 3, то (a + b) не кратно 3, так как их разность не кратна 3. Тогда (a + b) и (a — b) не могут быть одновременно не кратны 3, и разность квадратов a^2 — b^2 будет кратна 3.
Таким образом, мы доказали, что если каждое из двух натуральных чисел не делится на 3, то модуль разности квадратов этих чисел делится на 3.
