Вопрос школьника
Доказать, что если сумма трех последовательных натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24.
Ответ от учителя
Пусть три последовательных натуральных числа равны x, x+1 и x+2. Тогда их сумма равна 3x+3, что является нечетным числом.
Рассмотрим произведение этих чисел:
x(x+1)(x+2) = x(x^2+3x+2) = x^3+3x^2+2x
Заметим, что каждое из трех последовательных чисел является либо кратным 2, либо кратным 3. Таким образом, одно из них обязательно кратно 2, а другое — кратно 3. Значит, произведение x(x+1)(x+2) кратно 2*3=6.
Осталось доказать, что произведение также кратно 4 и 3. Рассмотрим два случая:
1. x кратно 2. Тогда x+1 нечетно и кратно 3, а x+2 кратно 2. Значит, произведение кратно 2*3*2=12, а также кратно 4, так как x кратно 2.
2. x нечетно. Тогда x+1 кратно 2 и нечетно, а x+2 кратно 3. Значит, произведение кратно 2*3=6, а также кратно 4, так как x+2 кратно 4.
Таким образом, произведение x(x+1)(x+2) кратно 6 и 4, а значит, кратно их наименьшему общему кратному — 24. Таким образом, мы доказали, что если сумма трех последовательных натуральных чисел есть число нечетное, то их произведение делится на 24.
