Вопрос школьника
Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не является квадратом натурального числа.
Ответ от учителя
Предположим, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел является квадратом натурального числа. То есть, существуют такие натуральные числа $a$ и $n$, что:
$$a^2 = n^2 — 2^2 — 1^2 — 0^2 + 1^2 + 2^2$$
Упрощая выражение, получаем:
$$a^2 = n^2 — 5$$
Таким образом, $n^2$ должно быть на 5 больше квадрата некоторого натурального числа $a$. Однако, квадраты натуральных чисел имеют вид $1, 4, 9, 16, 25, …$, то есть разность между последовательными квадратами равна $3, 5, 7, 9, …$. Таким образом, разность между квадратами двух последовательных натуральных чисел не может быть равна 5.
Следовательно, предположение о том, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел является квадратом натурального числа, неверно.
