Вопрос школьника
Доказать, что теплоёмкости идеального газа при постоянном давлении Ср и при постоянном объёме СV связаны отношением Cp — CV = R, где R — универсальная газовая постоянная.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения необходимо использовать уравнение состояния идеального газа, которое выражает связь между давлением, объемом, температурой и количеством вещества газа:
PV = nRT,
где P — давление, V — объем, n — количество вещества газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура.
Для идеального газа теплоемкость при постоянном давлении определяется как:
Cp = (dQ/dT)p,
где dQ — количество теплоты, переданное газу, dT — изменение температуры, p — постоянное давление.
Аналогично, теплоемкость при постоянном объеме определяется как:
CV = (dQ/dT)V,
где dQ — количество теплоты, переданное газу, dT — изменение температуры, V — постоянный объем.
Из первого начала термодинамики следует, что количество теплоты, переданное газу, равно изменению его внутренней энергии:
dQ = dU + PdV,
где dU — изменение внутренней энергии, P — давление, dV — изменение объема.
При постоянном давлении изменение внутренней энергии связано с изменением температуры следующим образом:
dU = Cv dT,
где Cv — теплоемкость при постоянном объеме.
Подставляя эти выражения в уравнение для dQ, получаем:
dQ = Cv dT + PdV.
Используя уравнение состояния идеального газа, можно выразить PdV через dT:
PdV = nR dT.
Тогда выражение для dQ принимает вид:
dQ = Cv dT + nR dT.
Следовательно, теплоемкость при постоянном давлении равна:
Cp = (dQ/dT)p = Cv + R.
Аналогично, при постоянном объеме:
dQ = Cp dT — PdV,
PdV = nR dT,
dQ = Cp dT — nR dT,
CV = (dQ/dT)V = Cp — R.
Таким образом, получаем связь между теплоемкостями при постоянном давлении и постоянном объеме:
Cp — CV = R.
Что и требовалось доказать.
