Вопрос школьника
Доказать, что выражение принимает неотрицательные значения при любых значениях а и b, не равных нулю.
Ответ от учителя
Рассмотрим выражение:
(a^2 + b^2) / (ab)
Для того, чтобы доказать, что оно принимает неотрицательные значения при любых значениях a и b, не равных нулю, нужно показать, что оно всегда больше или равно нулю.
Для начала заметим, что числитель выражения (a^2 + b^2) всегда неотрицательный, так как является суммой квадратов двух чисел.
Теперь рассмотрим знаменатель (ab). Если a и b имеют одинаковый знак (то есть оба положительные или оба отрицательные), то произведение ab также будет положительным числом. Если же a и b имеют разные знаки (одно положительное, другое отрицательное), то произведение ab будет отрицательным числом.
Таким образом, мы можем разбить рассмотрение выражения на два случая:
1. a и b имеют одинаковый знак:
В этом случае произведение ab положительно, и мы можем записать:
(a^2 + b^2) / (ab) = (a^2 / ab) + (b^2 / ab) = a/b + b/a
Заметим, что каждое из слагаемых a/b и b/a неотрицательно, так как является отношением двух положительных чисел (так как a и b имеют одинаковый знак). Следовательно, их сумма также неотрицательна.
2. a и b имеют разный знак:
В этом случае произведение ab отрицательно, и мы можем записать:
(a^2 + b^2) / (ab) = -(a^2 / ab) — (b^2 / ab) = -a/b — b/a
Заметим, что каждое из слагаемых -a/b и -b/a также неотрицательно, так как является отношением двух отрицательных чисел (так как a и b имеют разный знак). Следовательно, их сумма также неотрицательна.
Таким образом, мы доказали, что выражение (a^2 + b^2) / (ab) принимает неотрицательные значения при любых значениях a и b, не равных нулю.
