Вопрос школьника
Докажите, что:
а) а(х + 6) + х(х — 3а) = 9 при х = 2а — 3;
б) х(х — За) + а(а + х) + 4 = 13 при х = а + 3.
Ответ от учителя
а) Подставим значение х = 2а — 3 в выражение а(х + 6) + х(х — 3а):
а(2а — 3 + 6) + (2а — 3)(2а — 3 — 3а) = а(2а + 3) + (2а — 3)(-а) = 2а² + 3а — а(2а — 3) — 3а(2а — 3) = 2а² + 3а — 2а² + 3а + 9а — 27 = 12а — 27.
Теперь осталось проверить, что 12а — 27 действительно равно 9 при х = 2а — 3:
12а — 27 = 9
12а = 36
а = 3
Подставляем a = 3 и х = 2а — 3 = 3 в исходное выражение:
а(х + 6) + х(х — 3а) = 3(3 + 6) + 3(3 — 3·3) = 27 — 18 = 9
Таким образом, утверждение доказано.
б) Подставим значение х = а + 3 в выражение х(х — За) + а(а + х) + 4:
(а + 3)(а + 3 — 3а) + а(а + а + 3) + 4 = (а + 3)(-2а + 3) + 2а² + 3а + 4 = -2а² + 3а — 6а — 9 + 2а² + 3а + 4 = 6а — 5.
Теперь осталось проверить, что 6а — 5 действительно равно 13 при х = а + 3:
6а — 5 = 13
6а = 18
а = 3
Подставляем a = 3 и х = а + 3 = 6 в исходное выражение:
х(х — За) + а(а + х) + 4 = 6(6 — 3·3) + 3(3 + 6) + 4 = 0 + 27 + 4 = 31
Таким образом, утверждение доказано.
