Вопрос школьника
Докажите, что:
а) медиана делит треугольник на две равновеликие части;
б) если произвольную точку M медианы AA1 треугольника ABC соединить с вершинами B и C, то получатся равновеликие треугольники ABM и ACM.
в) три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
Ответ от учителя
а) Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ABC и его медиану AM, которая соединяет вершину A с серединой стороны BC (точка M). Проведем через точку M прямую, параллельную стороне AB, и через точку N — прямую, параллельную стороне AC (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,M,N;
A=(0,0);
B=(2,4);
C=(6,0);
M=(B+C)/2;
N=(A+B)/2;
draw(A—B—C—cycle);
draw(A—M);
draw(M—N);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,NW);
label(«$C$»,C,SE);
label(«$M$»,M,NE);
label(«$N$»,N,W);
[/asy]
Так как AM является медианой, то BM = MC. Кроме того, прямые MN и BC параллельны, поэтому треугольники ABM и ACM подобны и имеют равные соответствующие стороны AM и BM = MC. Значит, эти треугольники равновеликие.
Таким образом, медиана AM делит треугольник ABC на две равновеликие части.
б) Рассмотрим треугольник ABC и его медиану AA1, которая соединяет вершину A с серединой стороны BC (точка A1). Проведем через точку M (на медиане AA1) прямую, параллельную стороне AB, и через точку N — прямую, параллельную стороне AC (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,M,N;
A=(0,0);
B=(2,4);
C=(6,0);
M=(B+C)/2;
N=(A+B)/2;
draw(A—B—C—cycle);
draw(A—M);
draw(M—N);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,NW);
label(«$C$»,C,SE);
label(«$M$»,M,NE);
label(«$N$»,N,W);
[/asy]
Так как AM является медианой, то BM = MC. Кроме того, прямые MN и BC параллельны, поэтому треугольники ABM и ACM подобны и имеют равные соответствующие стороны AM и BM = MC. Значит, эти треугольники равновеликие.
Таким образом, произвольная точка M медианы AA1 делит треугольник ABC на две равновеликие части, образуя равновеликие треугольники ABM и ACM.
в) Рассмотрим треугольник ABC и его медианы AM, BN и CP, которые соединяют вершины A, B и C соответственно с серединами противоположных сторон (точки M, N и P). Проведем через точки M, N и P прямые, параллельные соответствующим сторонам треугольника (см. рисунок).
[asy]
pair A,B,C,M,N,P;
A=(0,0);
B=(2,4);
C=(6,0);
M=(B+C)/2;
N=(A+B)/2;
P=(A+C)/2;
draw(A—B—C—cycle);
draw(A—M);
draw(B—N);
draw(C—P);
label(«$A$»,A,SW);
label(«$B$»,B,NW);
label(«$C$»,C,SE);
label(«$M$»,M,NE);
label(«$N$»,N,W);
label(«$P$»,P,S);
[/asy]
Так как AM, BN и CP являются медианами, то BM = MC, AN = NC и AP = PB. Кроме того, прямые MP, BN и AC пересекаются в одной точке (точке G), которая является центром тяжести треугольника ABC.
Рассмотрим теперь треугольники ABM и ACP. Они подобны, так как угол BAC является общим, а углы ABM и ACP равны, так как они соответственные углы при параллельных прямых. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: AM/AC = BM/CP. Аналогично можно показать, что соответствующие стороны треугольников BAN и BCM пропорциональны: AN/AB = CN/BM и BM/BC = MC/AN.
Сложим полученные равенства: AM/AC + AN/AB + BM/BC + CN/BM + MC/AN + CP/PB = 2. Заметим, что каждое из слагаемых равно 1/2, так как AM/AC = AN/AB = BM/BC = CN/BM = MC/AN = CP/PB = 1/2 (по свойствам медиан). Таким образом, получаем 6*(1/2) = 3, что и означает, что три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
Таким образом, мы доказали, что три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих частей.
