Вопрос школьника
Докажите, что:
а) произведение двух средних из четырех последовательных натуральных чисел больше произведения двух крайних;
б) квадрат среднего из трех последовательных натуральных чисел больше произведения двух крайних.
Ответ от учителя
а) Пусть четыре последовательных натуральных числа имеют вид $n-1, n, n+1, n+2$. Тогда произведение двух крайних чисел равно $(n-1)(n+2)=n^2+n-2$, а произведение двух средних чисел равно $(n)(n+1)=n^2+n$. Разность этих произведений равна $(n^2+n)-(n^2+n-2)=2$, что является положительным числом. Следовательно, произведение двух средних чисел больше произведения двух крайних чисел.
б) Пусть три последовательных натуральных числа имеют вид $n-1, n, n+1$. Тогда квадрат среднего числа равен $n^2$, а произведение двух крайних чисел равно $(n-1)(n+1)=n^2-1$. Разность этих величин равна $n^2-(n^2-1)=1$, что является положительным числом. Следовательно, квадрат среднего числа больше произведения двух крайних чисел.
