Вопрос школьника
Докажите, что: а) сумма чётного и нечётного чисел есть число нечётное; б) сумма двух нечётных чисел есть число чётное; в) сумма двух последовательных натуральных чисел есть число нечётное; г) произведение двух последовательных натуральных чисел есть число чётное.
Ответ от учителя
а) Пусть есть четное число $a$ и нечетное число $b$. Четное число можно представить в виде $a=2k$, где $k$ — некоторое целое число. Нечетное число можно представить в виде $b=2m+1$, где $m$ — некоторое целое число. Тогда сумма этих чисел будет равна $a+b=2k+2m+1=2(k+m)+1$. Так как $k$ и $m$ — целые числа, то $k+m$ — тоже целое число. Значит, $2(k+m)$ — четное число, а $2(k+m)+1$ — нечетное число. Таким образом, сумма четного и нечетного чисел всегда будет нечетным числом.
б) Пусть есть два нечетных числа $a$ и $b$. Нечетное число можно представить в виде $a=2k+1$, где $k$ — некоторое целое число. Аналогично, второе нечетное число можно представить в виде $b=2m+1$. Тогда сумма этих чисел будет равна $a+b=2k+2m+2=2(k+m+1)$. Так как $k$ и $m$ — целые числа, то $k+m+1$ — тоже целое число. Значит, $2(k+m+1)$ — четное число. Таким образом, сумма двух нечетных чисел всегда будет четным числом.
в) Пусть есть два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$. Тогда их сумма будет равна $n+(n+1)=2n+1$. Так как $n$ — натуральное число, то $2n$ — четное число. Значит, $2n+1$ — нечетное число. Таким образом, сумма двух последовательных натуральных чисел всегда будет нечетным числом.
г) Пусть есть два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$. Тогда их произведение будет равно $n(n+1)$. Одно из этих чисел обязательно четное, а другое — нечетное. Если $n$ — четное число, то $n+1$ — нечетное число. Если $n$ — нечетное число, то $n+1$ — четное число. В любом случае, произведение двух последовательных натуральных чисел будет четным числом.
