Вопрос школьника
Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.
Ответ от учителя
а) Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: При $n=1$ имеем $2^1+2^2+2^3=14$, что действительно делится на 14.
Предположение индукции: Пусть для $n=k$ выполняется утверждение, то есть $2^k+2^{k+1}+2^{k+2}$ делится на 14.
Шаг индукции: Докажем, что из предположения индукции следует утверждение для $n=k+1$. Действительно,
$$2^{k+1}+2^{k+2}+2^{k+3}=2cdot(2^k+2^{k+1}+2^{k+2})-2^k$$
Первое слагаемое в правой части делится на 14 по предположению индукции. Второе слагаемое делится на 2, а $2^k$ делится на 7, так как $2^3=8equiv 1pmod{7}$, а значит $2^kequiv 2^{kbmod 3}pmod{7}$. При $kbmod 3=0$ имеем $2^kequiv 1pmod{7}$, при $kbmod 3=1$ имеем $2^kequiv 2pmod{7}$, а при $kbmod 3=2$ имеем $2^kequiv 4pmod{7}$. В любом случае $2^k$ делится на 7. Таким образом, вся правая часть делится на 14, а значит и левая часть делится на 14. Утверждение доказано.
б) Для доказательства данного утверждения также воспользуемся методом математической индукции.
База индукции: При $n=1$ имеем $5^1+5^2=30$, что действительно делится на 30.
Предположение индукции: Пусть для $n=k$ выполняется утверждение, то есть $5^k+5^{k+1}$ делится на 30.
Шаг индукции: Докажем, что из предположения индукции следует утверждение для $n=k+1$. Действительно,
$$5^{k+1}+5^{k+2}=5^kcdot 5+5^kcdot 5^2=5^kcdot (5+5^2)$$
Первый множитель в правой части делится на 30 по предположению индукции. Второй множитель делится на 5, а также на 6, так как $5^2=25equiv -1pmod{6}$. Таким образом, вся правая часть делится на 30, а значит и левая часть делится на 30. Утверждение доказано.
