Вопрос школьника
Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, в котором биссектриса из вершины A пересекает сторону BC в точке D. Требуется доказать, что отрезки BD и DC делят сторону BC пропорционально прилежащим сторонам AB и AC.
Для начала заметим, что угол BAD равен углу CAD, так как биссектриса делит угол на две равные части. Также заметим, что угол ABD равен углу ACD, так как они смежные и равны углам BAD и CAD соответственно.
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и ACD. В них угол A равен, а углы B и C прямые. Таким образом, эти треугольники подобны друг другу по признаку «угол-прямая-угол». Значит, отношение соответствующих сторон в этих треугольниках равно:
AB/BD = AC/CD
Переставим члены и получим:
BD/CD = AB/AC
Таким образом, отрезки BD и DC делят сторону BC пропорционально прилежащим сторонам AB и AC, что и требовалось доказать.
