Вопрос школьника
Докажите, что биссектриса внешнего угла параллелограмма вместе с его сторонами (или их продолжениями), не проходящими через вершину этого угла, образует равнобедренный треугольник, сумма боковых сторон которого равна периметру параллелограмма.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим параллелограмм ABCD и его внешний угол AEF (см. рисунок).
[](https://i.imgur.com/5JZJZJN.png)
Пусть точка M — середина стороны AB параллелограмма ABCD, а точка N — точка пересечения биссектрисы угла AEF с продолжением стороны CD.
Так как AM = MB (по определению середины), то угол AMN = ANM (по свойству биссектрисы). Также, угол AEF = AMN + ANM (по свойству смежных углов).
Таким образом, угол AEF = 2 * AMN.
Также, по свойству параллелограмма, сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD. Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC.
Теперь рассмотрим треугольник AMN. Так как угол AMN = ANM, то треугольник AMN является равнобедренным. Также, сторона AM равна половине стороны AB, а сторона AN равна половине стороны CD (по свойству биссектрисы). Таким образом, сумма боковых сторон треугольника AMN равна AM + AN = 0.5 * AB + 0.5 * CD.
Таким образом, мы доказали, что биссектриса внешнего угла параллелограмма вместе с его сторонами (или их продолжениями), не проходящими через вершину этого угла, образует равнобедренный треугольник, сумма боковых сторон которого равна половине периметра параллелограмма. Однако, так как мы рассматриваем две такие боковые стороны, то их сумма равна периметру параллелограмма.
