Вопрос школьника
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основе
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение биссектрисы внешнего угла при вершине треугольника. Биссектрисой внешнего угла при вершине треугольника называется отрезок, который делит этот угол на два равных угла и продолжается за вершину треугольника.
Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла BAC с отрезком BC (см. рисунок).
Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол ABC = угол ACB. Также, по определению биссектрисы, угол BAD = угол CAD.
Рассмотрим треугольник ABD. В нем угол ABD = угол ACD (так как они равны половине угла BAC), а угол BAD = угол CAD (по определению биссектрисы). Таким образом, треугольник ABD подобен треугольнику ACD по признаку угловой сходственности.
Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что отношение сторон AD и AC равно отношению сторон AB и AD:
AD/AC = AB/AD
AD^2 = AB*AC
Также, из равенства треугольников ABC и ACB следует, что BC = AC. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем:
AD^2 = AB*BC
Таким образом, мы доказали, что отрезок AD равен геометрическому месту точек, которые удовлетворяют условию, что их расстояние до основания равнобедренного треугольника равно произведению длин боковых сторон. Это геометрическое место точек — гипербола.
Также, из подобия треугольников ABD и ACD следует, что угол ADB = угол ADC. Так как угол ADC = 180 — угол ABC, то угол ADB = 180 — угол ABC. Но угол ABD = угол ACB (по определению биссектрисы). Таким образом, угол ABD + угол ADB = угол ACB + (180 — угол ABC) = 180. Это означает, что отрезки AD и BC параллельны (по свойству параллельных прямых).
Таким образом, мы доказали, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основе.
