Вопрос школьника
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AB=AC$. Пусть $BD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $B$, противолежащей основанию $AC$. Тогда мы должны доказать, что $BD parallel AC$.
Для доказательства этого факта, рассмотрим угол $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный, то угол $ABC$ равен углу $ACB$. Также, по построению, угол $ABD$ является внешним углом треугольника $ABC$.
Из этих двух фактов следует, что угол $ABD$ равен сумме углов $ABC$ и $ACB$. То есть:
$$angle ABD = angle ABC + angle ACB$$
Но по определению биссектрисы, угол $ABD$ делит угол $ABC$ пополам. То есть:
$$angle ABD = frac{1}{2}angle ABC$$
Следовательно, мы можем записать:
$$frac{1}{2}angle ABC = angle ABC + angle ACB$$
Отсюда получаем:
$$angle ACB = frac{1}{2}angle ABC$$
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике угол $ABD$ равен углу $ABC/2$, а угол $ADB$ равен углу $ACB$. Таким образом, мы имеем два угла в треугольнике $ABD$, которые равны соответствующим углам в треугольнике $ABC$. Следовательно, треугольники $ABD$ и $ABC$ подобны.
Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны пропорциональны. В частности, мы можем записать:
$$frac{BD}{AB} = frac{AB}{AC}$$
Но по условию задачи $AB=AC$, поэтому:
$$frac{BD}{AB} = frac{AB}{AB} = 1$$
Отсюда следует, что $BD=AB$. То есть биссектриса внешнего угла при вершине $B$ равна стороне $AB$.
Но мы знаем, что в равнобедренном треугольнике $AB=AC$. Следовательно, биссектриса внешнего угла при вершине $B$ равна стороне $AC$. То есть $BD=AC$.
Таким образом, мы доказали, что биссектриса внешнего угла при вершине $B$, противолежащей основанию $AC$, равна стороне $AC$. Но мы также знаем, что в равнобедренном треугольнике $AB=AC$. Следовательно, биссектриса внешнего угла при вершине $B$ параллельна основанию $AC$.
