Вопрос школьника
Докажите, что четыре точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.
Ответ от учителя
Пусть дан четырехугольник ABCD, и P — произвольная точка внутри него. Обозначим точки пересечения отрезков AP, BP, CP, DP с соответствующими сторонами четырехугольника через E, F, G, H соответственно.
Так как P симметрична относительно середины стороны AB, то AE = EP и BF = FP. Следовательно, AF = BE. Аналогично, можно доказать, что BG = CH и DG = FH.
Таким образом, получаем, что AB || EF и CD || GH. Осталось доказать, что EF = GH.
Рассмотрим треугольники AEP и FBP. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AE = EP, BF = FP и угол AEP = угол FBP, так как они симметричны относительно середины AB). Следовательно, у них равны и третьи стороны: EP = FP. Аналогично, можно доказать, что GH = EF.
Итак, мы доказали, что AB || EF, CD || GH и EF = GH. Это означает, что EFGH — параллелограмм, и его вершинами являются четыре точки, симметричные точке P относительно середин сторон ABCD.
