Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 6), В (-8; -2), С (0; -8) и D (6; 0) является квадратом
Ответ от учителя
Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо проверить выполнение следующих условий:
1. Все стороны равны между собой.
2. Все углы прямые (равны 90 градусам).
3. Диагонали равны между собой и делятся пополам.
Для начала найдем длины сторон четырехугольника ABCD:
AB = √[(8-2)^2 + (-2-6)^2] = √(6^2 + (-8)^2) = √100 = 10
BC = √[(0-(-8))^2 + (-8-(-2))^2] = √(8^2 + (-6)^2) = √100 = 10
CD = √[(6-0)^2 + (0-(-8))^2] = √(6^2 + 8^2) = √100 = 10
DA = √[(-2-6)^2 + (6-0)^2] = √(8^2 + 6^2) = √100 = 10
Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны между собой и равны 10.
Теперь проверим, что все углы четырехугольника ABCD прямые. Для этого найдем углы между соседними сторонами:
∠ABC = arctg[(6-(-2))/((-8)-(-2))] = arctg(8/-6) = -53.13 градусов
∠BCD = arctg[(0-(-8))/(6-0)] = arctg(8/6) = 53.13 градусов
∠CDA = arctg[(6-(-2))/(0-6)] = arctg(8/(-6)) = -53.13 градусов
∠DAB = arctg[(-2-6)/((-8)-6)] = arctg(-8/-14) = 26.57 градусов
Как видно из вычислений, углы ∠ABC, ∠CDA и ∠DAB равны -53.13 градусов, а угол ∠BCD равен 53.13 градусов. Таким образом, все углы четырехугольника ABCD прямые.
Наконец, проверим, что диагонали равны между собой и делятся пополам. Для этого найдем длины диагоналей:
AC = √[(-2-0)^2 + (6-(-8))^2] = √(2^2 + 14^2) = √200
BD = √[(-8-0)^2 + (-2-0)^2] = √(8^2 + 2^2) = √68
Как видно из вычислений, AC ≠ BD, поэтому четырехугольник ABCD не является ромбом и не может быть квадратом.
Таким образом, четырехугольник ABCD не является квадратом, так как не выполняется одно из условий: диагонали не равны между собой.
