Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (-2; 8), В (3; -3), С (6; 2) и D (1; 13) является параллелограммом.
Ответ от учителя
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны параллельны и равны.
Для начала, найдем координаты векторов AB, BC, CD и DA:
AB = (3 — (-2), -3 — 8) = (5, -11)
BC = (6 — 3, 2 — (-3)) = (3, 5)
CD = (1 — 6, 13 — 2) = (-5, 11)
DA = (-2 — 1, 8 — 13) = (-3, -5)
Затем, проверим, что векторы AB и CD равны по модулю и направлению, а также что векторы BC и DA равны по модулю и направлению:
|AB| = sqrt(5^2 + (-11)^2) = sqrt(146)
|CD| = sqrt((-5)^2 + 11^2) = sqrt(146)
AB/|AB| = (5/sqrt(146), -11/sqrt(146))
CD/|CD| = (-5/sqrt(146), 11/sqrt(146))
AB/|AB| = -CD/|CD|
|BC| = sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(34)
|DA| = sqrt((-3)^2 + (-5)^2) = sqrt(34)
BC/|BC| = (3/sqrt(34), 5/sqrt(34))
DA/|DA| = (-3/sqrt(34), -5/sqrt(34))
BC/|BC| = -DA/|DA|
Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны AB и CD, а также BC и DA равны по модулю и направлению. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.
