Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, если:
а) углы, прилежащие к стороне AB, как и углы, прилежащие к стороне BC, вместе составляют 180°;
б) его противоположные углы A и C равны, а углы A и B вместе составляют 180°.
Ответ от учителя
а) Пусть углы прилежащие к стороне AB обозначены как ∠A и ∠B, а углы прилежащие к стороне BC обозначены как ∠B и ∠C. Так как ∠A + ∠B = 180° и ∠B + ∠C = 180°, то получаем ∠A + ∠B + ∠B + ∠C = 360°. Это означает, что сумма всех углов четырехугольника ABCD равна 360°. Так как ABCD — выпуклый четырехугольник, то сумма его углов равна 360°. Значит, углы прилежащие к стороне CD также в сумме дают 180°. Таким образом, получаем, что ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°. Это означает, что противоположные стороны параллельны, так как соответствующие углы равны. Следовательно, ABCD является параллелограммом.
б) Пусть ∠A и ∠C — противоположные углы, а ∠A и ∠B вместе составляют 180°. Так как ∠A и ∠C равны, то ∠B и ∠D также равны, так как противоположные углы параллельных сторон равны. Таким образом, получаем, что ABCD является параллелограммом, так как противоположные стороны параллельны и соответствующие углы равны.
