Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, и найдите его площадь, если А (-3; 4), В (7; 9), С (5; -2), D (-5; -7).
Ответ от учителя
Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является ромбом, необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Все стороны равны между собой.
2. Диагонали являются взаимно перпендикулярными и делятся пополам.
Для начала найдем длины сторон AB, BC, CD и DA с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:
AB = √[(7 — (-3))^2 + (9 — 4)^2] = √[(10)^2 + (5)^2] = √125
BC = √[(5 — 7)^2 + (-2 — 9)^2] = √[(-2)^2 + (-11)^2] = √125
CD = √[(-5 — 5)^2 + (-7 — (-2))^2] = √[(-10)^2 + (-5)^2] = √125
DA = √[(-5 — (-3))^2 + (-7 — 4)^2] = √[(-2)^2 + (-11)^2] = √125
Как видно из вычислений, все стороны равны между собой, поэтому первое условие выполнено.
Теперь найдем координаты середин диагоналей AC и BD и проверим, что они совпадают:
M_AC = ((-3 + 5)/2; (4 — 2)/2) = (1; 1)
M_BD = ((7 — 5)/2; (9 — 7)/2) = (1; 1)
Как видно, координаты середин диагоналей совпадают, поэтому второе условие также выполнено.
Таким образом, четырехугольник ABCD является ромбом.
Чтобы найти площадь ромба, можно воспользоваться формулой S = (d1 * d2)/2, где d1 и d2 — диагонали ромба. Найдем длины диагоналей с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:
d1 = √[(7 — (-5))^2 + (9 — (-7))^2] = √[(12)^2 + (16)^2] = √400 = 20
d2 = √[(5 — (-3))^2 + (-2 — 4)^2] = √[(8)^2 + (-6)^2] = √100 = 10
Тогда площадь ромба будет равна:
S = (d1 * d2)/2 = (20 * 10)/2 = 100
Ответ: четырехугольник ABCD является ромбом, его площадь равна 100.
