Вопрос школьника
Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон параллелограмма, есть параллелограмм.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон параллелограмма, является параллелограммом, необходимо использовать свойства параллелограмма.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также у параллелограмма противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD и его середины сторон — точки M, N, P и Q. По определению середины стороны, отрезок MN равен по длине отрезку AB, отрезок NP равен по длине отрезку BC, отрезок PQ равен по длине отрезку CD, а отрезок QM равен по длине отрезку DA.
Таким образом, мы имеем следующие равенства длин сторон четырехугольника MNPQ:
MN = AB
NP = BC
PQ = CD
QM = DA
Также, по свойству параллелограмма, стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и DA параллельны. Из этого следует, что стороны MNPQ также параллельны попарно.
Осталось доказать, что стороны MNPQ равны по длине. Для этого рассмотрим треугольники AMN и CPQ. Они равны по двум сторонам и углу между ними (AM = CP, AN = CQ, угол MAN = угол PCQ = 180 — угол BCD). Из этого следует, что третья сторона этих треугольников равна по длине. То есть, MN = PQ.
Аналогично, рассмотрев треугольники BMP и CQN, можно доказать, что NP = QM.
Таким образом, мы доказали, что стороны MNPQ параллельны попарно и равны по длине. Следовательно, четырехугольник MNPQ является параллелограммом.
