Вопрос школьника
Докажите, что число: а) записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37; б) записанное четырьмя одинаковыми цифрами, делится на 11 и на 101. Подсказка. Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. Например, число, записанное двумя одинаковыми цифрами, можно представить в виде 10а + а.
Ответ от учителя
а) Пусть число записано тремя одинаковыми цифрами, тогда оно имеет вид 111k, где k — цифра от 0 до 9. Разложим это число на разрядные слагаемые: 111k = 100k + 10k + k. Заметим, что 100k и 10k делятся на 37, так как 37 является делителем числа 100 и 10. Тогда остается доказать, что число k также делится на 37. Для этого воспользуемся правилом делимости на 37: если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 37, то число делится на 37. В нашем случае сумма цифр, стоящих на четных местах, равна k, а сумма цифр, стоящих на нечетных местах, равна 2k. Тогда разность равна -k, что кратно 37 при k = 0, 37 и 74. Значит, число 111k делится на 37 при k = 0, 1 и 2.
б) Пусть число записано четырьмя одинаковыми цифрами, тогда оно имеет вид 1111k, где k — цифра от 0 до 9. Разложим это число на разрядные слагаемые: 1111k = 1000k + 100k + 10k + k. Заметим, что 1000k, 100k и k делятся на 101, так как 101 является простым числом и является делителем числа 10001. Тогда остается доказать, что число k также делится на 11. Для этого воспользуемся правилом делимости на 11: если разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 11, то число делится на 11. В нашем случае сумма цифр, стоящих на четных местах, равна 2k, а сумма цифр, стоящих на нечетных местах, также равна 2k. Тогда разность равна 0, что кратно 11 при любом k. Значит, число 1111k делится на 11 и на 101 при любом k.
