Вопрос школьника
Докажите, что центр описанной окружности, ортоцентр, центроид и центр окружности девяти точек треугольника принадлежат одной прямой (прямая Эйлера). При этом центр окружности девяти точек лежит посередине между ортоцентром и центром описанной окружности
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определения каждой из этих точек:
— Центр описанной окружности — это точка пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон треугольника к противоположным углам.
— Ортоцентр — это точка пересечения высот треугольника, то есть перпендикуляров, проведенных из вершин треугольника к противоположным сторонам.
— Центроид — это точка пересечения медиан треугольника, то есть отрезков, соединяющих вершины треугольника с серединами противоположных сторон.
— Центр окружности девяти точек — это точка пересечения прямых, соединяющих середины сторон треугольника с серединами отрезков, соединяющих вершины треугольника с ортоцентром.
Для доказательства того, что все эти точки лежат на одной прямой, нам понадобится использовать свойства ортоцентра и центра окружности девяти точек.
Свойства ортоцентра:
— Ортоцентр лежит на прямой, проходящей через вершину треугольника и середину противоположной стороны.
— Ортоцентр является точкой пересечения высот треугольника.
Свойства центра окружности девяти точек:
— Центр окружности девяти точек лежит на прямой, соединяющей ортоцентр и центр описанной окружности.
— Центр окружности девяти точек является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр и центр описанной окружности.
Из этих свойств следует, что центр окружности девяти точек лежит посередине между ортоцентром и центром описанной окружности. Таким образом, эти три точки лежат на одной прямой, проходящей через центр окружности девяти точек.
Чтобы доказать, что центроид также лежит на этой прямой, нам нужно воспользоваться свойством медиан треугольника:
— Медиана треугольника делит ее на две равные части.
— Центроид является точкой пересечения медиан треугольника.
Таким образом, медиана, проходящая через центроид, делит треугольник на две равные части. Одна из этих частей содержит ортоцентр и центр окружности девяти точек, а другая — центр описанной окружности. Следовательно, центроид также лежит на прямой, проходящей через эти три точки.
Таким образом, мы доказали, что центр описанной окружности, ортоцентр, центроид и центр окружности девяти точек лежат на одной прямой — прямой Эйлера.
