Вопрос школьника
Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, содержащей медиану, проведенную к его основанию.
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а M — середина стороны BC. Нам нужно доказать, что точки O, M и A лежат на одной прямой.
Для начала заметим, что точка O лежит на перпендикуляре, опущенном из середины стороны BC на прямую AB. Действительно, так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC равен 2 углу BOC (угол, опирающийся на дугу BC). Значит, угол BMC равен углу BAC/2, а угол BOC равен 2 углу BMC. Таким образом, угол BOC равен углу BAC, а значит, точка O лежит на перпендикуляре, опущенном из середины стороны BC на прямую AB.
Теперь заметим, что точка M также лежит на этом перпендикуляре. Действительно, так как треугольник ABC равнобедренный, то точка M лежит на биссектрисе угла BAC. Значит, угол BAM равен углу CAM, а значит, угол BAO равен углу CAO. Таким образом, точка O лежит на биссектрисе угла BAC, а значит, на прямой AM.
Таким образом, мы доказали, что точки O, M и A лежат на одной прямой.
