Вопрос школьника
Докажите, что для любых двух неконцентрических и неравных окружностей существует ровно две гомотетии, переводящие одну окружность в другую. Постройте центры этих гомотетий.
Ответ от учителя
Гомотетия — это преобразование плоскости, которое увеличивает или уменьшает расстояние между точками в некоторое число (коэффициент гомотетии). Центр гомотетии — это точка, которая не перемещается при преобразовании.
Пусть даны две неконцентрические и неравные окружности O1 и O2. Рассмотрим две гомотетии, переводящие O1 в O2.
Первая гомотетия будет уменьшать O1 до некоторой окружности O3, касающейся O2 в точке A. Так как O1 и O2 неравны, то O3 будет иметь меньший радиус, чем O1. Центр этой гомотетии будет находиться на линии, соединяющей центры O1 и O2, продолженной за O2 на расстояние, равное коэффициенту гомотетии.
Вторая гомотетия будет увеличивать O3 до O2. Центр этой гомотетии будет находиться на линии, соединяющей центры O1 и O2, продолженной за O1 на расстояние, равное коэффициенту гомотетии.
Таким образом, мы получили две гомотетии, переводящие O1 в O2, и центры этих гомотетий лежат на одной прямой, проходящей через центры O1 и O2.
Для построения центров гомотетий можно использовать линейку и циркуль. Сначала построим окружность O3, касающуюся O2 в точке A. Затем проведем линию, соединяющую центры O1 и O2, и продолжим ее за O2 на расстояние, равное коэффициенту гомотетии. На этой линии отложим отрезок, равный радиусу O3, и построим окружность с центром в этой точке. Это будет центр первой гомотетии.
Далее, продолжим линию, соединяющую центры O1 и O2, за O1 на расстояние, равное коэффициенту гомотетии. На этой линии отложим отрезок, равный радиусу O2, и построим окружность с центром в этой точке. Это будет центр второй гомотетии.
Таким образом, мы построили центры двух гомотетий, переводящих O1 в O2.
