Вопрос школьника
Докажите, что для наклонных, проведенных из одной точки к одной прямой, справедливо: а) равным наклонным, проведенным из одной точки к одной прямой, соответствуют равные проекции; б) большей наклонной соответствует большая проекция.
Ответ от учителя
Для начала, давайте определим некоторые термины. Наклонная — это линия, проведенная из точки на плоскости к прямой. Проекция — это отображение точки на плоскости на прямую, проведенную через эту точку перпендикулярно плоскости.
Теперь рассмотрим две наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой. Пусть эти наклонные обозначаются как AB и AC, а прямая — как l. Пусть также точка, из которой проведены наклонные, обозначается как O.
а) Для того чтобы доказать, что равным наклонным, проведенным из одной точки к одной прямой, соответствуют равные проекции, нам нужно показать, что проекции точек B и C на прямую l равны. Для этого нам нужно провести перпендикуляры от точек B и C на прямую l и показать, что эти перпендикуляры равны.
Пусть перпендикуляры, проведенные из точек B и C на прямую l, обозначаются как BD и CE соответственно. Так как BD и CE являются высотами треугольника BOC, то они равны между собой. Следовательно, проекции точек B и C на прямую l равны, что и требовалось доказать.
б) Чтобы доказать, что большей наклонной соответствует большая проекция, нам нужно показать, что если одна наклонная (например, AB) больше другой (например, AC), то ее проекция на прямую l также больше.
Пусть AB больше, чем AC. Тогда угол BOC (где O — точка, из которой проведены наклонные) меньше 90 градусов, так как AB является гипотенузой прямоугольного треугольника BOС, а AC — катетом. Следовательно, высота BD, проведенная из точки B на прямую l, больше, чем высота CE, проведенная из точки C на прямую l. Следовательно, проекция точки B на прямую l больше, чем проекция точки C на прямую l.
Таким образом, мы доказали, что для наклонных, проведенных из одной точки к одной прямой, справедливо: а) равным наклонным, проведенным из одной точки к одной прямой, соответствуют равные проекции; б) большей наклонной соответствует большая проекция.
