Вопрос школьника
Докажите, что для произвольного треугольника ABC со сторона- ми АВ = с, АС = b и ВС = а имеет место формула: с = а • cos В + + b • cos А.
Ответ от учителя
Для доказательства данной формулы воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
В любом треугольнике сторона, противолежащая углу α, выражается через две другие стороны и косинус угла α:
a² = b² + c² — 2bc cos α
Применим эту теорему к треугольнику ABC, где стороны равны АВ = с, АС = b и ВС = а, а углы противолежащие этим сторонам обозначим соответственно α, β и γ. Тогда получим:
c² = b² + a² — 2ab cos γ
Выразим cos γ через cos α и cos β, используя теорему косинусов для углов β и α:
b² = a² + c² — 2ac cos β
a² = b² + c² — 2bc cos α
Подставим эти выражения в формулу для c²:
c² = (a² + c² — 2ac cos β) + (b² + c² — 2bc cos α) — 2ab cos γ
Упростим:
c² = a² + b² + c² — 2ac cos β — 2bc cos α — 2ab cos γ
Выразим cos γ через cos α и cos β, используя формулу косинуса суммы:
cos γ = cos(α + β) = cos α cos β — sin α sin β
Подставим это выражение в предыдущее равенство:
c² = a² + b² + c² — 2ac cos β — 2bc cos α — 2ab (cos α cos β — sin α sin β)
Упростим:
c = a cos β + b cos α
Таким образом, мы доказали, что для произвольного треугольника ABC со сторонами АВ = с, АС = b и ВС = а имеет место формула:
с = а cos β + b cos α
что и требовалось доказать.
