Вопрос школьника
а) Докажите, что дуга окружности, равная 60°, стягивается хордой, равной радиусу окружности.
б) Докажите, что вписанный угол, равный 30°, опирается на хорду, равную радиусу окружности
Ответ от учителя
а) Пусть дана окружность с радиусом R и дугой, равной 60°. Проведем хорду AB, равную R. Тогда, по свойству хорд, она делит окружность на две дуги, каждая из которых равна 30°. Таким образом, мы получили две равные дуги, каждая из которых равна половине исходной дуги. Значит, хорда AB стягивает дугу, равную 60°.
б) Пусть дана окружность с радиусом R и вписанным углом, равным 30°. Проведем хорду AB, равную R. Тогда, по свойству хорд, она делит окружность на две дуги, каждая из которых равна 150°. Рассмотрим треугольник AOB, где O — центр окружности. Угол AOB равен 2*углу вписанной дуги, то есть 60°. Таким образом, мы получили треугольник AOB с углом при вершине, равным 60°. Значит, треугольник AOB является равносторонним, а значит, AB равна R. Таким образом, вписанный угол, равный 30°, опирается на хорду, равную радиусу окружности.
