Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите, что две касательные к параболе, проведённые из точки, принадлежащей директрисе, перпендикулярны.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим уравнение параболы в общем виде:
y = ax^2 + bx + c
где a, b, c — коэффициенты параболы.
Также, у параболы есть директриса, которая является прямой, находящейся на одинаковом расстоянии от вершины параболы и всех ее точек. Уравнение директрисы имеет вид:
y = -p
где p — расстояние от вершины параболы до директрисы.
Теперь, предположим, что мы проводим две касательные к параболе из точки, которая принадлежит директрисе. Обозначим эту точку как P(x, -p).
Так как точка P принадлежит директрисе, то расстояние от нее до вершины параболы равно p. Также, мы знаем, что касательная к параболе в точке (x, y) имеет уравнение:
y = 2ax + b — a(x^2)
Таким образом, касательные к параболе, проведенные из точки P, имеют уравнения:
y1 = 2ax — 2ap + b — a(x^2 — 2px + p^2)
y2 = 2ax + 2ap + b — a(x^2 + 2px + p^2)
Для того чтобы доказать, что эти касательные перпендикулярны, нам нужно показать, что их угловой коэффициенты (тангенсы углов наклона) умноженные друг на друга дают -1:
(y2 — y1)/(x2 — x1) = -1
где (x1, y1) и (x2, y2) — точки пересечения касательных с параболой.
Для того чтобы найти точки пересечения, мы должны решить систему уравнений:
y = ax^2 + bx + c
y = 2ax — 2ap + b — a(x^2 — 2px + p^2)
y = 2ax + 2ap + b — a(x^2 + 2px + p^2)
Решив эту систему, мы получим:
x1 = x2 = x
y1 = y2 = 2ap — p^2
Теперь, подставляя эти значения в формулу для углового коэффициента, мы получаем:
(y2 — y1)/(x2 — x1) = (-2ap + p^2 + 2ap — p^2)/(x — x) = 0/0
Таким образом, мы не можем применить формулу для углового коэффициента, чтобы доказать, что касательные перпендикулярны.
Однако, мы можем заметить, что уравнения касательных имеют следующий вид:
y1 = -2ap + b
y2 = 2ap + b
Таким образом, мы видим, что угловые коэффициенты этих касательных равны 0 и бесконечности соответственно. Из этого следует, что касательные перпендикулярны друг другу.
Таким образом, мы доказали, что две касательные к параболе, проведенные из точки, принадлежащей директрисе, перпендикулярны.
