Вопрос школьника
Докажите, что если биссектрисы двух противолежащих углов выпуклого четырёхугольника параллельны или лежат на одной прямой, то два других угла четырёхугольника равны.
Ответ от учителя
Пусть у нас есть выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором биссектрисы угла A и угла C параллельны или лежат на одной прямой. Обозначим точки пересечения биссектрис с противоположными сторонами как E и F соответственно.
Так как биссектрисы угла A и угла C параллельны или лежат на одной прямой, то углы A и C равны между собой (по свойству параллельных прямых или свойству вертикальных углов). Также из свойств биссектрис известно, что угол BAE равен углу EAC, а угол CFD равен углу FCD.
Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDF. Они имеют общую высоту EF и равны по двум сторонам (AB = CD и AE = CF), а значит, они равны между собой. Следовательно, углы BAE и CFD равны между собой.
Таким образом, мы доказали, что углы A и C равны между собой, а углы B и D также равны между собой.
