Вопрос школьника
Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой
Ответ от учителя
Пусть биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны. Обозначим точку пересечения этих биссектрис точкой O.
Так как точка O лежит на биссектрисе угла ABC, то угол AOC равен углу BOC. А так как точка O лежит на биссектрисе угла CBD, то угол COB равен углу DOB.
Из этих двух равенств следует, что угол AOC равен углу DOB. Но это означает, что точки A, O и D лежат на одной окружности с центром в точке O.
Так как точка O лежит на биссектрисе угла ABC, то угол AOB равен 90 градусам. А значит, точки A, O и B лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что точки A, B и D лежат на одной прямой, так как они все лежат на окружности с центром в точке O и на прямой AB.
