Вопрос школьника
Докажите, что если четыре прямые касаются окружности, как показано на рисунке 255, то выполняются следующие равенства:
а) АВ+ CD= BC+ DA;
б) KB + DM = ВМ+ KD,
в)КА + АМ=КС+СМ
Ответ от учителя
Для доказательства данных равенств воспользуемся свойствами касательных.
а) Рассмотрим треугольники ABC и ACD. Они имеют общую сторону AC и две пары равных углов (по свойству касательных). Значит, эти треугольники подобны. Тогда отношение сторон AB/CD равно отношению сторон BC/DA. Таким образом, получаем уравнение AB+CD=BC+DA.
б) Рассмотрим треугольники KBD и MCD. Они имеют общую сторону CD и две пары равных углов (по свойству касательных). Значит, эти треугольники подобны. Тогда отношение сторон KB/DM равно отношению сторон BM/KD. Таким образом, получаем уравнение KB+DM=BM+KD.
в) Рассмотрим треугольники KAM и CSM. Они имеют общую сторону CM и две пары равных углов (по свойству касательных). Значит, эти треугольники подобны. Тогда отношение сторон KA/AM равно отношению сторон CS/SM. Таким образом, получаем уравнение KA+AM=CS+SM.
Таким образом, мы доказали, что если четыре прямые касаются окружности, то выполняются равенства AB+CD=BC+DA, KB+DM=BM+KD и KA+AM=CS+SM.
