Вопрос школьника
Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, в котором центр окружности, описанной около него, лежит на высоте CH. Требуется доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.
Для начала заметим, что центр окружности, описанной около треугольника ABC, является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных из середин сторон треугольника. Обозначим эти точки как M, N и P, а центр окружности как O.
Так как центр окружности лежит на высоте CH, то точки M, N и P лежат на одной прямой с точкой H. Пусть точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC, а точка P — на стороне AC.
Так как точки M, N и P являются серединами соответствующих сторон треугольника ABC, то отрезки AM, BN и CP являются медианами треугольника. По свойству медиан треугольника, точка H является их пересечением.
Таким образом, мы получили, что точки M, N и P являются серединами соответствующих сторон треугольника, а точка H является точкой пересечения медиан. Значит, треугольник ABC является равнобедренным.
Действительно, если сторона AB равна стороне AC, то точка M совпадает с точкой P, и треугольник ABC становится равнобедренным по сторонам AB и AC. Аналогично, если сторона AC равна стороне BC, то точка P совпадает с точкой N, и треугольник ABC становится равнобедренным по сторонам AC и BC.
Таким образом, мы доказали, что если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на его высоте, то этот треугольник является равнобедренным.
