Вопрос школьника
Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, в который вписана окружность с центром I. Пусть AM — медиана, проходящая через вершину A и середину стороны BC. Тогда AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC.
Также известно, что точка касания окружности с стороной BC (точка D) является серединой отрезка BC (по свойству касательной к окружности). То есть BD = DC.
Рассмотрим треугольник AIM. Он является прямоугольным, так как AM — медиана, а IM — радиус вписанной окружности, и они перпендикулярны. Также известно, что AI — радиус вписанной окружности, а значит, AI = ID.
Теперь рассмотрим треугольник BID. Он также является прямоугольным, так как BD = DC (точка D — середина стороны BC), а угол BID — прямой (как угол, опирающийся на диаметр окружности). Также известно, что BI — радиус вписанной окружности, а значит, BI = ID.
Из равенства AI = ID и BI = ID следует, что AI = BI. То есть две стороны треугольника ABI равны между собой. Но также известно, что угол ABI равен углу ACI (как вертикальный угол), а значит, угол ACI также равен углу ABI. Таким образом, треугольник ACI также является равнобедренным.
Аналогично можно доказать, что треугольник BCI также является равнобедренным.
Таким образом, если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.
