Вопрос школьника
Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC, в котором центр вписанной окружности O лежит на высоте CH. Требуется доказать, что треугольник ABC является равнобедренным.
Для начала заметим, что точка O является центром вписанной окружности, то есть радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABO и ACO, равны. Обозначим эти радиусы как r.
Также заметим, что высота CH является биссектрисой угла ACB, то есть делит его на два равных угла. Обозначим точку пересечения высоты CH с отрезком AB как D.
Тогда, по теореме о биссектрисе, мы можем записать:
AD/DB = AC/CB
Также заметим, что треугольники ADO и BDO являются прямоугольными, так как точка O является центром вписанной окружности. Тогда мы можем записать:
AD = r * tan(A/2)
DB = r * tan(B/2)
Подставляя эти выражения в предыдущее равенство, получаем:
r * tan(A/2) / r * tan(B/2) = AC/CB
Упрощая, получаем:
tan(A/2) / tan(B/2) = AC/CB
Так как углы A/2 и B/2 являются половинами углов A и B, то мы можем записать:
tan(A/2) = (s — b)/r
tan(B/2) = (s — a)/r
где s — полупериметр треугольника ABC.
Подставляя эти выражения в предыдущее равенство, получаем:
(s — b)/(s — a) = AC/CB
Упрощая, получаем:
a = b
Таким образом, мы доказали, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник является равнобедренным.
