Вопрос школьника
Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение вписанной и описанной окружностей треугольника. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника. Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника.
Пусть ABC — треугольник, а O — точка пересечения высот, медиан и биссектрис. Тогда, по условию, центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке O.
Рассмотрим радиусы этих окружностей. Радиус вписанной окружности равен r, а радиус описанной окружности равен R.
Известно, что для треугольника существует формула, связывающая радиусы вписанной и описанной окружностей с длинами сторон треугольника:
r = p — a / 2
R = abc / 4S
где p — полупериметр треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, S — площадь треугольника.
Также известно, что для равностороннего треугольника все стороны равны между собой, то есть a = b = c.
Предположим, что треугольник ABC не является равносторонним. Тогда хотя бы две его стороны не равны между собой, скажем, a и b. Тогда p = (a + b + c) / 2 > (a + a + c) / 2 = (2a + c) / 2 = a + c / 2. Подставим это в формулу для радиуса вписанной окружности:
r = p — a / 2 > (a + c / 2) — a / 2 = c / 2
Таким образом, радиус вписанной окружности больше половины длины стороны c. Но так как вписанная окружность касается всех трех сторон треугольника, то она не может быть больше стороны c. Получаем противоречие.
Значит, предположение о том, что треугольник ABC не является равносторонним, неверно. Треугольник ABC равносторонний.
