Вопрос школьника
Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то АВ2 + CD2 = ВС2 + AD2.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников АВС и СDА:
AB² + BC² = AC² (1)
CD² + DA² = AC² (2)
Так как диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, то они являются диагоналями прямоугольника ABCD. Значит, их длины равны:
AC² = AB² + BC² (3)
AC² = CD² + DA² (4)
Из уравнений (3) и (4) следует, что:
AB² + BC² = CD² + DA²
Перенесем одно слагаемое на другую сторону:
AB² + CD² = BC² + DA²
Но заметим, что BC = CD и DA = AB, так как противоположные стороны прямоугольника равны. Подставим это в предыдущее уравнение:
AB² + CD² = CD² + AB²
Таким образом, мы доказали, что АВ² + CD² = ВС² + AD².
