Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то АВ^2 + CD^2 = ВС^2 + AD^2.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников.
Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Проведем высоты из вершин A и B на диагонали BD и обозначим их точками E и F соответственно. Также проведем высоты из вершин C и D на диагонали AC и обозначим их точками G и H соответственно.
Таким образом, получим четыре прямоугольных треугольника: ABE, ABF, CDG и CDH.
Применим теорему Пифагора для каждого из этих треугольников:
ABE: AE^2 + BE^2 = AB^2
ABF: AF^2 + BF^2 = AB^2
CDG: CG^2 + DG^2 = CD^2
CDH: CH^2 + DH^2 = CD^2
Сложим первые два уравнения и вторые два уравнения:
AE^2 + BE^2 + AF^2 + BF^2 = AB^2 + CG^2 + DG^2 + CH^2 + DH^2
Заметим, что AE = CH и BE = DG, так как это высоты в прямоугольных треугольниках. Также заметим, что AF = CD — CH и BF = AB — DG, так как это катеты в прямоугольных треугольниках.
Подставим эти равенства в предыдущее уравнение:
CH^2 + DG^2 + (CD — CH)^2 + (AB — DG)^2 = AB^2 + CG^2 + DG^2 + CH^2 + DH^2
Раскроем скобки и упростим:
CD^2 + AB^2 — 2CD·CH — 2AB·DG = CG^2 + DH^2
Заметим, что CH = CG и DG = DH, так как это высоты в прямоугольных треугольниках. Таким образом, получим:
CD^2 + AB^2 — 2CD·CG — 2AB·DG = CG^2 + DH^2
Перенесем все слагаемые справа:
CD^2 + AB^2 = CG^2 + DH^2 + 2CD·CG + 2AB·DG
Заметим, что CD·CG и AB·DG равны между собой, так как это площади прямоугольных треугольников. Таким образом, получим:
CD^2 + AB^2 = CG^2 + DH^2 + 2CD·CG + 2AB·DG = (CG + DG)^2 + (CH + DH)^2
Заметим, что CG + DG = AC и CH + DH = BD, так как это диагонали четырехугольника. Таким образом, получим:
CD^2 + AB^2 = AC^2 + BD^2
Что и требовалось доказать.
